Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức \({\left( {\sqrt[3]{3} + \sqrt[5]{5}} \right)^{2019}}\)

* Hướng dẫn giải

Ta có: \({\left( {\sqrt[3]{3} + \sqrt[5]{5}} \right)^{2019}} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k{{\left( {\sqrt[3]{3}} \right)}^{2019 - k}}{{\left( {\sqrt[5]{5}} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k{3^{\frac{{2019 - k}}{3}}}{5^{\frac{k}{5}}}} \)

Số hạng là số nguyên trong khai triển \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{k}{5} \in Z\\
\frac{{2019 - k}}{3} \in Z\\
0 \le k \le 2019
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow k \vdots 5,\left( {2019 - k} \right) \vdots 3\). Mà \(2019 \vdots 3 \Rightarrow k \vdots 3\)

Mà  \(\left( {3;5} \right) = 1 \Rightarrow k \vdots 15 \Rightarrow k = 15m\left( {m \in Z} \right)\)

Mà \(0 \le k \le 2019 \Leftrightarrow 0 \le 15m \le 2019 \Leftrightarrow 0 \le m \le 134,6 \Leftrightarrow \) Có 134 số nguyên k thỏa mãn.

Vậy khai triển trên có 134 số hạng là số nguyên.