Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(\log _3^23x + {\log _3}x + m - 1 = 0\) có đúng 2 nghiệm phân bi�

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: x > 0

Đặt \(t = {\log _3}x \Rightarrow x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( { - \infty ;0} \right)\)

Khi đó ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}
\log _3^23x + {\log _3}x + m - 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_3}3 + {{\log }_3}x} \right)^2} + {\log _3}x - 1 =  - m\\
 \Leftrightarrow \log _3^2x + 3{\log _3}x =  - m \Leftrightarrow {t^2} + 3t =  - m\,\,\left( * \right)
\end{array}\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc (0; 1) <=>  phương trình ẩn t có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left( { - \infty ;3} \right)\)

Xét hàm số: \(y = {t^2} + 3t\) trên \(\left( { - \infty ;3} \right)\)  ta có: \(y' = 2t + 3\)

\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 2t + 3 = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{3}{2}\)

Ta có BBT:

Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left( { - \infty ;0} \right)\) thì đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(t) tại hai điểm phân biệt thuộc \(\left( { - \infty ;0} \right) \Rightarrow  - \frac{9}{4} <  - m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4}\)