Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = x,AD = 1 .

* Hướng dẫn giải

Ta có \(BC \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow A'B\) là hình chiếu của A'C  lên  \(\left( {ABB'A'} \right)\)

\( \Leftrightarrow \angle \left( {A'C;\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \angle \left( {A'C;A'B} \right) = \angle BA'C = 30^\circ \)

\(BC \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow BC \bot A'B \Rightarrow \Delta A'BC\) vuông tại .

Xét tam giác vuông A'BC  có: \(A'B = BC.\cot 30^\circ  = \sqrt 3 \)

Xét tam giác vuông AA'B có: \(AA' = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}}  = \sqrt {3 - {x^2}} \)

\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.AB.AD = \sqrt {3 - {x^2}} .x = V\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có \(\sqrt {3 - {x^2}} .x \le \frac{{3 - {x^2} + {x^2}}}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow {V_{\max }} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 3 - {x^2} = {x^2} \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)