Cho a, b là các số thực thỏa mãn a > 0 và \(a \ne 1\) biết phương trình \({a^x} - \frac{1}{{{a^x}}} = 2\cos \left( {bx} \r

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
{a^{2x}} - 2{a^x}\left( {\cos bx + 2} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow {a^x} + \frac{1}{{{a^x}}} = 2\left( {\cos bx + 2} \right)\\
 \Leftrightarrow {\left( {{a^{\frac{x}{2}}}} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {{a^{\frac{x}{2}}}} \right)}^2}}} - 2 = 2\left( {\cos bx + 1} \right) \Leftrightarrow {\left( {{a^{\frac{x}{2}}} - \frac{1}{{{a^{\frac{x}{2}}}}}} \right)^2} = 2.2{\cos ^2}\frac{{bx}}{2}\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{a^{\frac{x}{2}}} - \frac{1}{{{a^{\frac{x}{2}}}}} = 2\cos \frac{{bx}}{2}\\
{a^{\frac{x}{2}}} - \frac{1}{{{a^{\frac{x}{2}}}}} =  - 2\cos \frac{{bx}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{a^{\frac{x}{2}}} - \frac{1}{{{a^{\frac{x}{2}}}}} = 2\cos \frac{{bx}}{2}{\rm{ }}\left( 1 \right)\\
{a^{ - \frac{x}{2}}} - \frac{1}{{{a^{ - \frac{x}{2}}}}} = 2\cos \left( {\frac{{b\left( { - x} \right)}}{2}} \right){\rm{ }}\left( 2 \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Theo bài ra ta có phương trình (1) có 7 nghiệm phân biệt.

Ta thấy nếu  là nghiệm của (1) => (2) có nghiệm -x₀.

Xét \(f\left( 0 \right) = 1 - 2.1\left( {1 + 2} \right) + 1 =  - 4 \ne 0 \Rightarrow x = 0\) không là nghiệm của (1) \( \Rightarrow {x_0} \ne 0 \Rightarrow  - {x_0} \ne {x_0}{\rm{ }}\forall {x_0}\)

Vậy phương trình đề bài có tất cả 14 nghiệm.