Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;2) và mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 9\).

* Hướng dẫn giải

Mặt cầu \((S):(x-1)^2+y^2+z^2=9\) có tọa độ tâm I(1;0;0) và bán kính R = 3.

Ta có: \(\overrightarrow {IM}  = \left( {1; - 1;2} \right),IM = \sqrt 6  < R\) nên M nằm trong mặt cầu.

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua M và cắt (S) theo một đường tròn.

Gọi H là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) ta có \(IH \le IM\).

Bán kính của đường tròn giao tuyến là \(r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}}  \ge \sqrt {{R^2} - I{M^2}}  = \sqrt {9 - 6}  = \sqrt 3 \)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(H \equiv M\).

Khi đó mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua M và nhận \(\overrightarrow {IM}  = \left( {1; - 1;2} \right)\) làm véctơ pháp tuyến có phương trình \(x-y+2z-7=0\).