Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{

* Hướng dẫn giải

\(g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} - 3} \right)f\left( {{x^3} - 3x} \right) - {x^4} - 2{x^2} + 3 = \left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {3f\left( {{x^3} - 3x} \right) - {x^2} - 3} \right]\)

Với \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\) có \({x^3} - 3x \in \left[ { - 2;2} \right] \Rightarrow f\left( {{x^3} - 3x} \right) < 0\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}
g'\left( x \right) = 0\\
x \in \left( { - 1;2} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)

Bảng biến thiên của \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} - 3x} \right) - \frac{1}{5}{x^5} - \frac{2}{3}{x^3} + 3x - \frac{2}{{15}}\) trên đoạn [-1;2] 

Suy ra \(\max g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = f\left( { - 2} \right) - \left( {\frac{1}{5} + \frac{2}{3} - 3 + \frac{2}{{15}}} \right) = 2019 + 2 = 2021\)