Cho lăng trụ ABC.ABC có đáy là tam giác vuông tại \(A,AB = a,AC = a\sqrt 2 . biết góc giữa mặt phẳng (A'BC)

* Hướng dẫn giải

Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H, A lên BC.

Ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}
HD \bot BC\\
A'H \bot BC
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {A'HD} \right) \bot BC \Rightarrow A'D \bot BC.\) 

Khi đó (A'BC) và (ABC) chính là góc giữa hai đường thẳng A'D và HD hay  \(\angle A'DH = {60^0}.\)

Xét tam giác vuông ABC có \(AB \bot AC \Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 3 .\) 

Nên \(AE = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) suy ra \(HD = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}.\) 

Từ đó \(A'H = HD.tan{60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}.\sqrt 3  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\) 

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'H = \frac{1}{2}AB.AC.A'H = \frac{1}{2}a.a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}.\)