Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh \(a,ABC = {60^0},SA = SB = SC = a\sqrt 2 .

* Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình thoi nên AB = BC mà \(\angle ABC = {60^0}\)  nên ABC là

tam giác đều cạnh a. 

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, O là giao điểm hai đường chéo hình thoi.

Vì SA = SB = SC nên S thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay chân đường cao hạ từ S xuống (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp H của tam giác ABC. Hay \(SH \bot (ABC) \Rightarrow SH \bot (ABCD)\) 

+ Vì ABC đều cạnh a tâm H nên

\(AC = a;BO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};BH = \frac{2}{3}BO = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) 

+ Vì \(SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot BD\) 

+ Xét tam giác BHD vuông tại H có \(SH = \sqrt {SB{}^2 - B{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 }}\)

+ Diện tích hình thoi ABCD là \(\frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}AC.2BO = \frac{1}{2}a.2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\) 

Thể tích \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{2}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 }}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6}.\)