Cho hàm số (fleft( x ight) = {x^3} - left( {2m - 1} ight){x^2} + left( {2 - m} ight)x + 2.

* Hướng dẫn giải

Nhận thấy rằng nếu x₀  là điểm cực trị của hàm số y=f(|x|) cũng là điểm cực trị của hàm số y=f(|x|) (1)

Lại thấy vì đồ thị hàm số  y=f(|x|) nhận trục Oy làm trục đối xứng mà f(x) là hàm đa thứ bậc ba nên x=0 luôn là một điểm cực trị của hàm số y=f(|x|) (2)

Từ (1) và (2) suy ra để hàm số y=f(|x|) có 5 điểm cực trị thì hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - (2m - 1){x^2} + (2 - m)x + 2\) có hai điểm cực trị dương phân biệt.

Hay phương trình \(f'(x) = 3{x^2} - 2(2m - 1)x + 2 - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt dương.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
S > 0\\
P > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{(2m - 1)^2} - 3(2 - m) > 0\\
\frac{{2m - 1}}{3} > 0\\
2 - m > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{m^2} - m - 5 > 0\\
m > \frac{1}{2}\\
m < 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m <  - 1\\
m > \frac{5}{4}
\end{array} \right.\\
m > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{5}{4} < m < 2\\
m < 2
\end{array} \right..\)