Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (left( {m + 3} ight){9^x} + left( {2m - 1} ight){3^x} + m + 1 = 0)&nbs

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = {3^x} > 0\) ta được: \(\left( {m + 3} \right){t^2} + (2m - 1)t + m + 1 = 0\) (1).

Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu (giả sử \({x_1} < 0 < {x_2}) \Leftrightarrow (1)\) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn \(0 < t{}_1 = {3^{{x_1}}} < 1 < {3^{{x_2}}} = {t_2},\) nghĩa là \(0 < {t_1} < 1 < {t_2}\) 

Áp dụng định lý Vi-ét ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} + {t_2} =  - \frac{{2m - 1}}{{m + 3}}\\
{t_1}{t_2} = \frac{{m + 1}}{{m + 3}}
\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 3 \ne 0\\
\Delta  = {(2m - 1)^2} - 4(m + 3)(m + 1) > 0\\
\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) < 0\\
{t_1}{t_2} > 0\\
{t_1} + {t_2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne  - 3\\
 - 20m - 11 > 0\\
{t_1}t{}_2 - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 < 0\\
{t_1}{t_2} > 0\\
{t_1} + {t_2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne  - 3\\
m <  - \frac{{11}}{{20}}\\
\frac{{m + 1}}{{m + 3}} + \frac{{2m - 1}}{{m + 3}} + 1 < 0\\
\frac{{m + 1}}{{m + 3}} > 0\\
 - \frac{{2m - 1}}{{m + 3}} > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne  - 3\\
m <  - \frac{{11}}{{20}}\\
\frac{{4m + 3}}{{m + 3}} < 0\\
\frac{{m + 1}}{{m + 3}} > 0\\
 - \frac{{2m - 1}}{{m + 3}} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne  - 3\\
m <  - \frac{{11}}{{20}}\\
 - 3 < m <  - \frac{3}{4}\\
\left[ \begin{array}{l}
m <  - 3\\
m >  - 1
\end{array} \right.\\
 - 3 < m < \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < m <  - \frac{3}{4}.
\end{array}\)