Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (log _2^2x + {log _2}x - m = 0) có nghiệm (x in (0;1).) 

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = {\log _2}x,\), vì 0 < x < 1 nên t < 0 hay \(t \in \left( { - \infty ;0} \right).\) 

Phương trình trở thành \({t^2} + t - m = 0 \Leftrightarrow m = {t^2} + t.\) 

Xét hàm \(f\left( t \right) = {t^2} + t\) trên \(\left( { - \infty ;0} \right).\) 

Đồ thị hàm số y = f(t) là parabol có hoành độ đỉnh \(t =  - \frac{1}{2} \in \left( { - \infty ;0} \right).\) 

Bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên ta thấy, khi \(m \ge  - \frac{1}{4}\) thì đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số đã cho tại ít nhất 1 điểm thuộc \(\left( { - \infty ;0} \right).\) 

Do đó phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1).

Vậy \(m \ge  - \frac{1}{4}\) là giá trị cần tìm.