Cho hàm số y = f(x)  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:Cho hàm số \(y = 3f\left( {x + 3} \right) - {x^3} + 12x\)&nb

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(y' = 3.f'\left( {x + 3} \right) - 3{x^2} + 12\) 

Đặt \(t = x + 3 \Rightarrow x = t - 3\) ta có \(y' = 3f'\left( t \right) - 3{\left( {t - 3} \right)^2} + 12 = 3f'\left( t \right) - 3{t^2} + 18t - 15\) 

Để hàm số nghịch biến thì \(y' < 0 \Leftrightarrow 3.f'\left( t \right) - 3t{}^2 + 18t - 15 < 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) < {t^2} - 6t + 5\) 

Ta chọn t sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}
f'(t) < 0\\
{t^2} - 6t + 5 > 0
\end{array} \right.\) 

Từ bảng xét dấu hàm f'(x) ta thấy \(f'(x) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 - 1 < x < 1\\
x > 5
\end{array} \right.\) nên \(f'(t) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 - 1 < t < 1\\
t > 5
\end{array} \right.\) 

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}
f'(t) < 0\\
{t^2} - 6t + 5 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
 - 1 < t < 1\\
t > 5
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
t > 5\\
t < 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 - 1 < t < 1\\
t > 5
\end{array} \right.\) 

Mà t = x + 3 nên \(\left[ \begin{array}{l}
 - 1 < t < 1\\
t > 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 - 1 < x + 3 < 1\\
x + 3 > 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 - 4 < x <  - 2\\
x > 2
\end{array} \right.\) 

Vậy hàm số \(y = 3f\left( {x + 3} \right) - {x^3} + 12x\) nghịch biến trên (-4;2) và \(\left( {2; + \infty } \right).\)