Xét các số thực dương x, y thỏa mãn \({\log _{\sqrt 5 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x(x - 3) + y(y - 3) + xy.

* Hướng dẫn giải

 Ta có: \(P = 2 + \frac{{x - 11}}{{x + y + 6}}.\)

Trong (1) coi y là ẩn, x là tham số. Ta có: \({y^2} + \left( {x - 3} \right)y + {x^2} - 3x + 2 = 0\) có nghiệm khi

\(\Delta  = {\left( {x - 3} \right)^2} - 4\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{3 - 2\sqrt 3 }}{3} \le x \le \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3} < 3 \Rightarrow x - 11 < 0.\) 

Vậy P < 2 nên trong 4 phương án thì \({P_{\max }} = 1\) khi đó x = 2; y = 1