Cho tứ diện ABCD có  AC = 3a,BD = 4a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD.

* Hướng dẫn giải

Ta có:  \({\overrightarrow {MN} ^2} = {\left[ {\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC} } \right)} \right]^2} = \frac{1}{4}{\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BC} } \right)^2}\)

\( = \frac{1}{4}{\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {DB} } \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} + {{\overrightarrow {BD} }^2} + 2.\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{1}{4}\left( {9{a^2} + 16{a^2}} \right) = \frac{{25}}{4}{a^2}\)

Suy ra \(MN = \frac{5}{2}a\)