Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. M là điểm thỏa mãn \(IM = \frac{{3R}}{2}\). hai mặt phẳng (P), (Q) qua M tiếp xúc S

* Hướng dẫn giải

Do \(IA \bot \left( P \right)\) và  \(IB \bot \left( Q \right)\) nên \(\left[ \begin{array}{l}
\widehat {AIB} = 60^\circ \\
\widehat {AIB} = 120^\circ 
\end{array} \right.\)

Nếu \(\widehat {AIB} = 60^\circ  \Rightarrow AB = R\)

Nếu \(\widehat {AIB} = 120^\circ  \Rightarrow AB = R\sqrt 3 \).

Mặt khác A, B thuộc đường tròn (C) (là tập hợp các tiếp điểm của tiếp tuyến qua M của (S)). Suy ra \(AB \le CD\) (với CD là một đường kính của (C)).

Ta có: \(I{C^2} = IH.IM \Rightarrow IH = \frac{{2R}}{3} \Rightarrow CH = \sqrt {I{C^2} - I{H^2}}  = \frac{{R\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow CD = \frac{{2\sqrt 5 R}}{3} < \sqrt 3 R\)

Vậy AB = R