Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) . trên đường thẳng vuông góc

* Hướng dẫn giải

Gọi \(E = SD \cap S'A\)

Hai mặt phẳng (SCD) và (S’AB) có điểm chung E và có CD//AB nên giao tuyến của (SCD) và (S’AB) là đường thẳng d qua E song song với CD.

\(d \cap S'B = T\) và \(d \cap SC = F\)

Phần chung của hai khối chóp S.ABCD và S’.ABCD là khối đa diện ABTEDC

Ta có: \({V_1} = {V_{ABTEDC}} = {V_{S'.ABCD}} - {V_{S'.ETCD}}\)

\(\begin{array}{l}
\frac{{S'D}}{{SA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{S'E}}{{AE}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{S'E}}{{S'A}} = \frac{1}{3} = \frac{{S'T}}{{S'B}}\\
\frac{{{V_{S'.ETD}}}}{{{V_{S'.ABD}}}} = \frac{{S'E}}{{S'E}}.\frac{{S'T}}{{S'B}} = \frac{1}{9} \Rightarrow {V_{S'.ETD}} = \frac{1}{{18}}{V_{S'.ABCD}}\\
\frac{{{V_{S'.TCD}}}}{{{V_{S'.BCD}}}} = \frac{{S'T}}{{S'B}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {V_{S'.TCD}} = \frac{1}{6}{V_{S'.ABCD}}
\end{array}\)

Suy ra \({V_{S'.ETCD}} = \left( {\frac{1}{{18}} + \frac{1}{6}} \right){V_{S'.ABCD}} = \frac{2}{9}{V_{S'.ABCD}} \Rightarrow {V_1} = \frac{7}{9}{V_{S'.ABCD}}\)

Lại có \({V_2} = {V_{S.ABCD}} = 2{V_{S'.ABCD}}\). Do đó \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{7}{{18}}\)