Hình vẽ bên dưới mô tả đoạn đường đi vào GARA ôtô nhà cô Hiền.

* Hướng dẫn giải

- Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

Khi đó: \(M\left( { - 2,6;m} \right)\). Gọi \(B\left( { - a;0} \right) \Rightarrow A\left( {0;\sqrt {25 - {a^2}} } \right)\)

Suy ra phương trình AB là: \(\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} = 1\)

Do CD//AB nên phương trình CD là: \(\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - k = 0\)

Khoảng cách giữa AB và CD là chiều rộng của ôtô và bằng 1,9 m nên:

\(\frac{{\left| {k - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt {25 - {a^2}} }}} \right)}^2}} }} = 1,9 \Leftrightarrow k = 1 + \frac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }}\)

Điều kiện để ô tô đi qua được là M và O nằm khác phía đối với đường thẳng CD

Suy ra:  \(\frac{{2,6}}{a} + \frac{m}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 - \frac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow m \ge \sqrt {25 - {a^2}}  + \frac{{9,5}}{a} - \frac{{2,6.\sqrt {25 - {a^2}} }}{a}\) (đúng với mọi \(a \in \left( {0;5} \right]\) ).

- Xét hàm số: \(f\left( a \right) = \sqrt {25 - {a^2}}  + \frac{{9,5}}{a} - \frac{{2,6.\sqrt {25 - {a^2}} }}{a}\) trên nửa khoảng (0; 5].

Có \(f'\left( a \right) =  - \frac{a}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - \frac{{9,5}}{{{a^2}}} + \frac{{65}}{{{a^2}\sqrt {25 - {a^2}} }} = \frac{{65 - 9,5.\sqrt {25 - {a^2}}  - {a^3}}}{{{a^2}\sqrt {25 - {a^2}} }}\)

\( \Rightarrow f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 3 \in \left( {0;5} \right)\)

BBT:

Do đó \(m \ge f\left( a \right),\forall a \in \left( {0;5} \right] \Leftrightarrow m \ge \frac{{37}}{{10}} = 3,7\)

Vậy x = 3,7 là giá trị cần tìm.