Cho hình cầu (S) có bán kính R.

* Hướng dẫn giải

Đặt \(OO' = h\left( {0 < h < 2R} \right) \Rightarrow OI = \frac{h}{2}\)

Gọi r là bán kính đáy hình trụ ta có \(r = \sqrt {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}}  = \frac{{\sqrt {4{R^2} - {h^2}} }}{2}\) 

Khi đó thể tích khối trụ là:

\(\begin{array}{l}
V = \pi \frac{{4{R^2} - {h^2}}}{4}.h = \frac{{4\pi \sqrt 3 }}{9}{R^3} \Leftrightarrow 9\left( {4{R^2} - {h^2}} \right)h = 16\sqrt 3 {R^3}\\
 \Leftrightarrow 16\sqrt 3 {R^3} - 36{R^2}h + 9{h^3} = 0 \Leftrightarrow \frac{{16\sqrt 3 {R^3}}}{{{h^3}}} - \frac{{36{R^2}}}{{{h^2}}} + 9 = 0
\end{array}\) 

Đặt \(t = \frac{R}{h} > \frac{1}{2}\), phương trình trở thành \(16\sqrt 3 {t^3} - 36{t^2} + 9 = 0\) 

\( \Leftrightarrow \frac{R}{h} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow h = \frac{{2R}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}R\)