Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) - mx + 1\) đồng biến tr

* Hướng dẫn giải

TXĐ: D = R. Ta có \(y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} - m\) 

Để hàm số đồng biến trên R thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in  \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} - m \ge 0\,\,\forall x \in \)

\( \Leftrightarrow g\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} \ge m\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_ g\left( x \right)\) 

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\) ta có \(g'\left( x \right) = \frac{{2\left( {{x^2} + 1} \right) - 2x.2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\) 

Từ BBT ta có \(\mathop {\min }\limits_R g\left( x \right) = g\left( { - 1} \right) =  - 1\) 

\( \Rightarrow m \le  - 1 \Rightarrow m \in \left( { - \infty ; - 1} \right]\)