Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R, \(f\left( x \right) \ne 0\) với mọi x và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) =  - \frac{1}

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){f^2}\left( x \right) \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 2x + 1\) 

Nguyên hàm hai vế ta được:

\(\int {\frac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx = \int {\left( {2x + 1} \right)dx \Rightarrow  - \frac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + x + C} } \) 

Do \(f\left( 1 \right) =  - \frac{1}{2}\) nên \( - \frac{1}{{ - \frac{1}{2}}} = {1^2} + 1 + C \Leftrightarrow C = 0\) 

Do đó \( - \frac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + x \Rightarrow f\left( x \right) =  - \frac{1}{{{x^2} + x}} = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{x}\) 

\( \Rightarrow f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2019} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{1} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{{2020}} - \frac{1}{{2019}} = \frac{1}{{2010}} - 1\) 

Vậy a = 1, b = 2020 

Đối chiếu các đáp án ta thấy A sai.