Cho hình nón có chiều cao 2R và bán kính đường tròn đáy R.

* Hướng dẫn giải

Gọi chiều cao khối trụ là h và bán kính đáy khối trụ là r.

Ta có: \(\frac{{O'A'}}{{OA}} = \frac{{SO'}}{{SO}} \Rightarrow \frac{r}{R} = \frac{{2R - h}}{{2R}} \Rightarrow h = 2R - 2r\) 

Thể tích khối trụ: \(V = \pi {r^2}h = \pi {r^2}.\left( {2R - 2r} \right) = 2\pi \left( {R{r^2} - {r^3}} \right)\) 

Xét hàm \(f\left( r \right) = R{r^2} - {r^3}\) có \(f'\left( r \right) = 2rR - 3{r^2} = 0 \Leftrightarrow r = \frac{{2R}}{3}\) (vì 0 < r < R)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm số \(f(r)\) đạt GTLN tại \(r = \frac{{2R}}{3}\) 

Vậy \({V_{\max }}\) đạt được khi \(r = \frac{{2R}}{3}\)