Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có các đỉnh B, C thuộc trục Ox.

* Hướng dẫn giải

Gọi N, D, M lần lượt là hình chiếu của F, A, E lên BC. H là trực tâm tam giác.

Dễ thấy \(D_1=B_1\) (tứ giác FHDB nội tiếp), \(D_2=C_1\) (tứ giác EHDC nội tiếp).

Mà \(B_1=C_1\) (cùng phụ góc BAC) nên \({D_1} = {D_2} \Rightarrow FDN = EDC\).

Xét tam giác FDN đồng dạng tam giác EDM (g-g)

\( \Rightarrow \frac{{ND}}{{DM}} = \frac{{FN}}{{EM}}\) 

Mà \(F\left( {1;2;0} \right),E\left( {6;4;0} \right)\) nên \(N\left( {1;0;0} \right),M\left( {6;0;0} \right)\) và \(FN = 2,EM = 4 \Rightarrow \frac{{DN}}{{DM}} = \frac{{FN}}{{EM}} = \frac{1}{2}\) 

Suy ra \(\overrightarrow {DN}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {DM} \) 

Gọi \(D\left( {x;0;0} \right) \in BC\) thì \(1 - x =  - \frac{1}{2}\left( {6 - x} \right) \Leftrightarrow x = \frac{8}{3}\) 

Vậy \(D\left( {\frac{8}{3};0;0} \right)\)