Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại C, CH vuông góc với AB tại H, I là trung điểm của đoại HC.

* Hướng dẫn giải

Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB.

Qua J kẻ đường thẳng vuông góc với (IAB), cắt mặt phẳng trung trực của  SI tại O' thì O' là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SIAB.

Lại có \(O'J \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {OO',\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {OO',OJ} \right)\) 

Do tam giác SAB vuông nên OO' là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB hay \(OO' \bot \left( {SAB} \right)\) 

Kẻ \(IK \bot SH\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot AH\\
AB \bot SI
\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SIH} \right) \Rightarrow AB \bot IK\) 

Do đó  \(IK \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(IK \bot OO'\) 

Ngoài ra \(OJ\bot AB\) (trung trực của AB) và \(IH\bot AB\) nên IH // OJ 

Từ đó \(\left( {OO',OJ} \right) = \left( {IK,IH} \right) = KIH\) 

Trong các tam giác vuông CAB, SAB ta có: \(C{H^2} = HA.HB = S{H^2} \Rightarrow CH = SH\) 

Lại có SI vừa là đường cao vừa là trung tuyến trong tam giác SCH nên tam giác SCH cân tại S

\( \Rightarrow SC = SH = CH\) hay tam giác SCH đều.

\( \Rightarrow KHI = {60^0} \Rightarrow KIH = {30^0}\) 

Vậy góc giữa OO' và (ABC) bằng \(30^0\)