Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và độ dài đoạn thẳng AB bằng 4.

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(MA = 3MB \Leftrightarrow M{A^2} - 9M{B^2} = 0 \Leftrightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} - 9{\overrightarrow {MB} ^2} = 0\)

Ta tìm điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  - 9\overrightarrow {IB}  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  = 9\overrightarrow {IB} \)

Đặt \(IB = x \Rightarrow IA = 9x \Rightarrow 4 = AB = IA - IB = 9x - x = 8x \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\) 

Do đó \(IA = \frac{9}{2},IB = \frac{1}{2}\) 

Khi đó \({\overrightarrow {MA} ^2} - 9{\overrightarrow {MB} ^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - 9{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = 0\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA}  + I{A^2} - 9\left( {M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  + I{B^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow M{I^2} + I{A^2} - 9M{I^2} - 9I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA}  - 9\overrightarrow {IB} } \right) = 0\\
 \Leftrightarrow  - 8M{I^2} + I{A^2} - 9I{B^2} = 0\\
 \Rightarrow  - 8M{I^2} + {\left( {\frac{9}{2}} \right)^2} - 9.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow  - 8M{I^2} =  - 18 \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2}
\end{array}\)

Vậy M nằm trên mặt cầu tâm I bán kính \(MI = \frac{3}{2}\)