Cho hàm số f(x), f(-x)  liên tục trên R và thỏa mãn (2fleft( x ight) + 3fleft( { - x} ight) = frac{1}{{4 + {x^2}}}).

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t =  - x \Rightarrow dx =  - dt\)

Đổi cận:  \(\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2 \Rightarrow t = 2\\
x = 2 \Rightarrow t =  - 2
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I =  - \int\limits_2^{ - 2} {f\left( { - t} \right)dt}  = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( { - x} \right)dx} \)

Theo bài ra ta có:  \(2f\left( x \right) + 3f\left( { - x} \right) = \frac{1}{{4 + {x^2}}} \Leftrightarrow 2\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx}  + 3\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( { - x} \right)dx}  = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{dx}}{{4 + {x^2}}}} \)

\( \Leftrightarrow 3I + 2I = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{dx}}{{4 + {x^2}}}}  \Leftrightarrow I = \frac{1}{5}\int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{dx}}{{4 + {x^2}}}} \)

Đặt x = 2tanu ta có: \(dx = 2\frac{1}{{{{\cos }^2}u}}du = 2\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2 \Rightarrow u = \frac{{ - \pi }}{4}\\
x = 2 \Rightarrow u = \frac{\pi }{4}
\end{array} \right.\)

Khi đó ta có \(I = \frac{1}{5}\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{2\left( {1 + {u^2}} \right)du}}{{4 + 4{{\tan }^2}u}}}  = \frac{1}{{10}}\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {du}  = \left. {\frac{1}{{10}}u} \right|_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{1}{{10}}\left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{{20}}\)