Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh 2a, cạnh bên (SA = asqrt 5 ). Khoảng cách giữa BD và SC là:

* Hướng dẫn giải

Vì chóp S.ABCD đều \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\) .

Trong (SOC) kẻ \(OH \bot SC\left( {H \in SC} \right)\).

Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}
BD \bot AC\\
BD \bot SO
\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SOC} \right) \Rightarrow OH \bot BD\)

 => OH là đoạn vuông góc chung của BD và \(SC \Rightarrow d\left( {BD;SC} \right) = OH\)

ABCD là hình vuông cạnh \(2a \Rightarrow OC = \frac{{2a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \sqrt {5{a^2} - 2{a^2}}  = a\sqrt 3 \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOC:OH = \frac{{SO.OC}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt 3 .a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{a\sqrt {30} }}{5}\) .

Vậy \(d\left( {BD;SC} \right) = \frac{{a\sqrt {30} }}{5}\)