Cho f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [-1; 1] và (intlimits_{ - 1}^1 {fleft( x ight)dx}  = 4).

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t =  - x \Rightarrow dt =  - dx\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow t =  - 1\\
x =  - 1 \Rightarrow t = 1
\end{array} \right.\), khi đó:

\(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx}  =  - \int\limits_1^{ - 1} {\frac{{f\left( { - t} \right)dt}}{{1 + {e^{ - t}}}}}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{f\left( { - x} \right)dx}}{{1 + \frac{1}{{{e^x}}}}}}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{e^x}f\left( { - x} \right)dx}}{{1 + {e^x}}}} \)

Do f(x) là hàm số chẵn nên \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right){\rm{ }}\forall x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{e^x}f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} \)

\( \Rightarrow I + I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx}  + \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{e^x}f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}} dx = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{\left( {{e^x} + 1} \right)f\left( x \right)dx}}{{1 + {e^x}}}}  = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  = 4 \Rightarrow I = 2\)

.