Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0; - 2; - 1} \right),B\left( { - 2; - 4;3} \right),C\left( {1;3; - 1} \right)

* Hướng dẫn giải

Gọi I(a; b; c) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {IA}  = \left( { - a; - 2 - b; - 1 - c} \right)\\
\overrightarrow {IB}  = \left( { - 2 - a; - 4 - b;3 - c} \right)\\
\overrightarrow {IC}  = \left( {1 - a;3 - b; - 1 - c} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \left( { - 5a + 1; - 5b + 3; - 5c + 1} \right)\).

\(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{5}\\
b = \frac{3}{5}\\
c = \frac{1}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{1}{5};\frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)\).

Khi đó ta có \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {MI}  + 3\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {5\overrightarrow {MI} } \right| = 5MI\)

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M{I_{\min }} \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của I trên (Oxy) \( \Rightarrow M\left( {\frac{1}{5};\frac{3}{5};0} \right)\).