Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} - 4mx\) đồng biến trên đo�

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m\) 

Để hàm số đồng biến trên [1; 4] thì \(y' \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left[ {1;4} \right]\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow {x^2} + 2x \ge 2m\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow 2m \le \frac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}}{\rm{ }}\forall x \in \left[ {1;4} \right]\) 

Đặt \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}} \Rightarrow 2m \le f\left( x \right){\rm{ }}\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} f\left( x \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}}\) trên [1; 4] ta có:

\(f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) - {x^2} - 2x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 1 > 0{\rm{ }}\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên [1; 4] \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\left[ {1;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 1\).

Vậy \(2m \le 1 \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}\).