Xét các số phức z, w thỏa mãn \(\left| {z + 2 - 2i} \right| = \left| {z - 4i} \right|\) và \(w = iz + 1\).

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left| {z + 2 - 2i} \right| = \left| {z - 4i} \right| \Leftrightarrow \left| {z - \left( { - 2 + 2i} \right)} \right| = \left| {z - \left( {4i} \right)} \right| \Rightarrow \) Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường trung trực của đoạn thẳng AB, với \(A\left( { - 2;2} \right),\,\,B\left( {0;4} \right)\).

\(\overrightarrow {AB} =\left( {2;2} \right)\), trung điểm I của AB là \(I\left( { - 1;3} \right) \Rightarrow \) Phương trình đường trung thực của AB là:

\(2\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0\,\,\,\,\left( d \right)\) 

\(w = iz + 1 \Rightarrow \) Điểm biểu diễn N của w là ảnh của M qua các phép biến hình sau:

+) Phép quay tâm O góc quay 90 độ.

+) Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \left( {1;0} \right)\).

Qua Phép quay tâm O góc quay 90 độ: Đường thẳng (d) biến thành đường thẳng \(x - y + 2 = 0\,\,\,\,\left( {d'} \right)\)  

Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \left( {1;0} \right)\): Đường thẳng (d') biến thành đường thẳng \(x - y + 3 = 0\,\,\,\,\left( {d''} \right)\) 

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường thẳng \(\left( {d''} \right):x - y + 3 = 0\) 

Giá trị nhỏ nhất của \(\left| w \right|\) bằng \(d\left( {O;d''} \right) = \frac{{\left| 3 \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)