Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (S...

* Hướng dẫn giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Kẻ HM vuông góc với SN tại H.

Ta có: \(AM//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right)\) 

\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SM \bot AB,SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) 

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\
\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\) 

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
CD \bot MN\\
CD \bot SM
\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow CD \bot HM\) 

Mà \(HM \bot SN \Rightarrow  \Rightarrow HM \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right) = HM \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = HM\) 

\(\Delta SMN\) vuông tại \(M \Rightarrow \frac{1}{{H{M^2}}} = \frac{1}{{S{M^2}}} + \frac{1}{{M{N^2}}} = \frac{1}{{\frac{3}{4}{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow HM = \sqrt {\frac{3}{7}} a\)  

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \sqrt {\frac{3}{7}} a = \frac{{\sqrt {21} }}{7}a\)