Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn \(4 + {9.3^{{x^2} - 2y}} = \left( {4 + {9^{{x^2} - 2y}}} \right){.7^{2y - {x^2} + 2}}\).

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = {x^2} - 2y\). Phương trình đã cho trở thành:

\(4 + {9.3^t} = \left( {4 + {9^t}} \right){.49.7^{ - t}} \Leftrightarrow {4.7^t} + {9.3^t}{.7^t} - 49.4 - {49.9^t} = 0\) 

\( \Leftrightarrow 4.\left( {{7^t} - 49} \right) + {3^t}\left( {{{9.7}^t} - {{49.3}^t}} \right) = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\) 

Nhận xét:

+) t = 2 là nghiệm của (1)

+) \(t > 2 \Rightarrow {7^t} - 49 > 0\) và \({9.7^t} - {49.3^t} > 0\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\,\frac{{{{9.7}^t}}}{{{{49.3}^t}}} = {{\left( {\frac{7}{3}} \right)}^{t - 2}} > 1} \right) \Rightarrow VT > 0:\) Phương trình vô nghiệm

+) \(t < 2 \Rightarrow {7^t} - 49 < 0\) và \({9.7^t} - {49.3^t} < 0\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\,\frac{{{{9.7}^t}}}{{{{49.3}^t}}} = {{\left( {\frac{7}{3}} \right)}^{t - 2}} < 1} \right) \Rightarrow VT < 0:\) Phương trình vô nghiệm

Vậy, (1) có nghiệm duy nhất là \(t = 2 \Rightarrow {x^2} - 2y = 2 \Leftrightarrow 2y = {x^2} - 2\) 

Khi đó, \(P = \frac{{x + 2y + 18}}{x} = \frac{{x + {x^2} - 2 + 18}}{x} = x + \frac{{16}}{x} + 1 \ge 2\sqrt {x.\frac{{16}}{x}}  + 1 = 9,\,\,\left( {x > 0} \right)\) 

\( \Rightarrow MinP = 9\) khi và chỉ khi x = 4, y = 7.