Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn [1;3] và có bảng biến thiên như sau:Tổng các giá trị \(m \in Z\) s

* Hướng dẫn giải

Phương trình \(f\left( {x - 1} \right) = \frac{m}{{{x^2} - 6x + 12}}\) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn [2;4] 

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = \frac{m}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 3}}\) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn [1;3] 

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right).\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 3} \right) = m\) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn [1;3]

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right).\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 3} \right)\) trên [1;3] có:

\(g'\left( x \right) = f'\left( x \right).\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 3} \right) + 2\left( {x - 2} \right).f\left( x \right)\)  có nghiệm x = 2 

Với \(1 \le x < 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}
f'\left( x \right) > 0\\
{\left( {x - 2} \right)^2} + 3 > 0\\
x - 2 < 0\\
f\left( x \right) < 0
\end{array} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) > 0\) 

Với \(2 < x \le 3\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}
f'\left( x \right) < 0\\
{\left( {x - 2} \right)^2} + 3 > 0\\
x - 2 > 0\\
f\left( x \right) < 0
\end{array} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) < 0\)

Ta có bảng biến thiên của g(x) như sau:

Vậy để phương trình \(f\left( x \right).\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 3} \right) = m\) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn [1;3] thì \(m \in \left[ { - 12; - 3} \right)\) 

\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 12; - 11;...; - 4} \right\}\) 

Tổng các giá trị của m thỏa mãn là: \( - 12 - 11 - ... - 4 =  - 9.16:2 =  - 72\)