Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AA, BC, CD.

* Hướng dẫn giải

Trong (ABCD), gọi \(I = NP \cap AB,K = NP \cap AD\) 

Trong (ABB’A), gọi \(E = IM \cap BB'\) 

Trong (ADD’A’), gọi \(F = KM \cap DD'\) 

Thiết diện của hình hộp cắt bởi (MNP) là ngũ giác MENPF.

Ta có: \(\Delta INB = \Delta PNC \Rightarrow IN = NP\), tương trự:

\(\begin{array}{l}
KP = NP \Rightarrow IN = KP = NP\\
 \Rightarrow \frac{{IN}}{{IK}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{IN}}{{IK}} = \frac{{BE}}{{AM}} = \frac{{IB}}{{IA}} = \frac{1}{3}\\
 \Rightarrow \frac{{{V_{E.IBN}}}}{{{V_{M.IAK}}}} = \frac{1}{{27}}
\end{array}\)   

Tương tự: \(\frac{{{V_{F.DPK}}}}{{{V_{M.IAK}}}} = \frac{1}{{27}} \Rightarrow \frac{{{V_2}}}{{{V_{M.IAK}}}} = 1 - \frac{1}{{27}} - \frac{1}{{27}} = \frac{{25}}{{27}} \Rightarrow {V_2} = \frac{{25}}{{27}}{V_{M.IAK}}\) 

Ta có: \(\Delta IAK\) đồng dạng \(\Delta NCP\) với tỉ số đồng dạng là 3 \( \Rightarrow {S_{\Delta AIK}} = 9.{S_{\Delta NCP}}\) 

Mà \({S_{\Delta NCP}} = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}.{S_{ABCD}} = \frac{1}{8}{S_{ABCD}}\) 

\( \Rightarrow {S_{\Delta AIK}} = \frac{9}{8}{S_{ABCD}}\) 

Khi đó:

\(\begin{array}{l}
{V_{M.IAK}} = \frac{1}{2}.\frac{9}{8}.{V_{A'.ABCD}} = \frac{1}{2}.\frac{9}{8}.\frac{1}{3}.{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{3}{{16}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\\
 \Rightarrow {V_2} = \frac{{25}}{{27}}{V_{M.IAK}} = \frac{{25}}{{27}}.\frac{3}{{16}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{{25}}{{144}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\\
 \Rightarrow {V_1} = \frac{{119}}{{144}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{119}}{{25}}
\end{array}\)