Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}\) trên đoạn [1;2] bằng 8

* Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\). Ta có: \(y' = \frac{{x + 1 - x - m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{1 - m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) 

Vì hàm số đã cho là hàm bậc nhất trên bậc nhất nên hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định của hàm số.

 \(\Rightarrow\) Xét trên [1;2] ta có: \(y\left( 1 \right) = \frac{{1 + m}}{2};y\left( 2 \right) = \frac{{2 + m}}{3}\) là các GTNN và GTLN của hàm số.

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow y\left( 1 \right) + y\left( 2 \right) = \frac{{m + 1}}{2} + \frac{{m + 2}}{3} = 8 \Leftrightarrow 3m + 3 + 2m + 4 = 48 \Leftrightarrow m = \frac{{41}}{5}\\
 \Rightarrow 8 < m < 10
\end{array}\)