Biết tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {5x - 1} \right)^n}\) bằng \({2^{100}}\).

* Hướng dẫn giải

Ta có: \({\left( {5x - 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {5x} \right)}^k}{{\left( { - 1} \right)}^{n - k}}} \) 

Chọn x = 1 ta được tổng các hệ số của khai triển

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow {\left( {5.1 - 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{5^k}{{\left( { - 1} \right)}^{n - k}} = {2^{100}}} \\
 \Leftrightarrow {2^{100}} = {4^n} \Leftrightarrow {2^{100}} = {2^{2n}} \Leftrightarrow 2n = 100 \Leftrightarrow n = 50
\end{array}\) 

Vậy hệ số của \(x^3\) trong khai triển là: \(C_{50}^3{.5^3}.{\left( { - 1} \right)^{50 - 3}} =  - C_{50}^3{.5^3} =  - 2450000\)