Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx = 8} \) và \(\int\limits_0^5 {f\left( x \right)d

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( {\left| {4x - 1} \right|} \right)} dx = \int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{4}} {f\left( { - 4x + 1} \right)dx}  + \int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {f\left( {4x - 1} \right)dx} \)

Xét \({I_1} = \int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{4}} {f\left( { - 4x + 1} \right)dx} \)

Đặt \( - 4x + 1 = t \Rightarrow dt =  - 4dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1 \Rightarrow t = 5\\
x = \frac{1}{4} \Rightarrow t = 0
\end{array} \right.\) 

\( \Rightarrow {I_1} =  - \frac{1}{4}\int\limits_5^0 {f\left( t \right)dt}  = \frac{1}{4}\int\limits_0^5 {f\left( t \right)dt = } \frac{1}{4}\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx = } \frac{1}{4}.4 = 1\) 

Xét \({I_2} = \int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {f\left( {4x - 1} \right)dx} \) 

Đặt \(4x - 1 = t \Rightarrow dt = 4dx\). Đổi xận: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow t = 3\\
x = \frac{1}{4} \Rightarrow t = 0
\end{array} \right.\) 

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow {I_2} = \frac{1}{4}\int\limits_0^3 {f\left( t \right)dt}  = \frac{1}{4}\int\limits_0^3 {f\left( t \right)dt}  = \frac{1}{4}\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = \frac{1}{4}.8 = 2\\
I = {I_1} + {I_2} = 1 + 2 = 3
\end{array}\)