Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;1;2} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng (d) và \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( {1;1; - 2} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha  \right) \bot \left( \beta  \right)\\
\left( \alpha  \right) \supset \left( d \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_\beta }}  = 0\\
\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {4; - 4;0} \right)//\left( {1; - 1;0} \right)\) 

Lấy \(A\left( {1;2;3} \right) \in \left( d \right) \Rightarrow A \in \left( \alpha  \right)\) 

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\): \(1\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0\) 

\( \Rightarrow \) Giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x - y + 1 = 0\\
x + y - 2z + 1 = 0
\end{array} \right.\left( * \right)\) 

Dựa vào 4 đáp án ta thấy chỉ có điểm (2;3;3) thỏa mãn (*)