Cho phương trình \(\frac{{\cos 4x - \cos 2x + 2{{\sin }^2}x}}{{\sin x + \cos x}} = 0\).

* Hướng dẫn giải

ĐK: \(\sin x + \cos x \ne 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} \ne k\pi  \Leftrightarrow x \ne  - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\) 

 \(\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow \cos 4x - \cos 2x + 2{\sin ^2}x = 0\\
 \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - 1 - \cos 2x + 1 - \cos 2x = 0\\
 \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - 2\cos 2x = 0\\
 \Leftrightarrow 2\cos 2x\left( {\cos 2x - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\cos 2x = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
2x = \pi  + k2\pi 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \frac{\pi }{2} + k\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\) 

Đối chiếu điều kiện ta có: \(\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + k\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\) 

Biểu diễn hai họ nghiệm trên trên đường tròn lượng giác ta được 4 điểm A, B, C, D như sau:

Trong đó \(A\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\). Gọi H lần lượt là hình chiếu của A trên \(Oy \Rightarrow H\left( {0;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)  

\( \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Ta có: \({S_{\Delta ABD}} = \frac{1}{2}AH.BD = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}.2 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) 

Vậy \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = \sqrt 2 \)