Cho một đa giác đều có 48 đỉnh. Lấy ngẫu nhiên ba đỉnh của đa giác.

* Hướng dẫn giải

Số cách chọn 3 đỉnh bất kì của đa giác là: \({n_\Omega } = C_{48}^3\) 

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đều.

Gọi biến cố A: “Chọn 3 đỉnh bất kì của đa giác để được một tam giác nhọn”.

Lấy điểm A thuộc đường tròn (O), kẻ đường kính AA’ \( \Rightarrow \)  A’ cũng thuộc đường tròn (O).

Khi đó AA’ chia đường tròn (O) thành hai nửa, mỗi nửa có 23 đỉnh.

Chọn 2 đỉnh B, C cùng thuộc 1 nửa đường tròn có \(C_{23}^2\) cách chọn \( \Rightarrow \) có \(C_{23}^2\) tam giác ABC là tam giác tù.

Tương tự như vậy đối với nửa còn lại nên ta có \(2C_{23}^2\) tam giác tù được tạo thành.

Đa giác đều có 48 đỉnh nên có 24 đường chéo \( \Rightarrow \) có 24.2.\(C_{23}^2\) tam giác tù.

Ứng với mỗi đường kính ta có 23.2 tam giác vuông. Vậy số tam giác vuông là: 23.2.24 = 1104 tam giác.

\( \Rightarrow {n_A} = C_{48}^3 - 48C_{23}^2 - 1104 = 4048\) tam giác.

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{4048}}{{C_{48}^3}} = \frac{{11}}{{47}}\)