Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( {8;5; - 11} \right),\,B\left( {5;3; - 4} \right),\,C\left( {1;2; - 6} \right)\)

* Hướng dẫn giải

Gọi điểm I(a;b;c) thỏa mãn: \(\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \) 

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {8 - a;5 - b; - 11 - c} \right) - \left( {5 - a;3 - b; - 4 - c} \right) - \left( {1 - 1;2 - b; - 6 - c} \right) = \overrightarrow 0 \\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8 - a - 5 + a - 1 + a = 0\\
5 - b - 3 + b - 2 + b = 0\\
 - 11 - c + 4 + c + 6 + c = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 2\\
b = 0\\
c = 1
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 2;0;1} \right)
\end{array}\) 

Theo đề bài ta có: \(\left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} } \right|\,\,Min\) 

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {MI}  - \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {MI}  - \overrightarrow {IC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MI}  + \left( {\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC} } \right)} \right| = 3\left| {\overrightarrow {MI} } \right| = 3MI\,\,Min\) 

Ta có: (S) có tâm \(J\left( {2;4; - 1} \right),R = 3.\,\,\,M \in \left( S \right) \Rightarrow M{I_{\min }} = IJ - R = \sqrt {16 + 16 + 4}  - 3 = 3\) 

Có: \(\overrightarrow {IJ}  = \left( {4;4; - 2} \right) = 2\left( {2;2; - 1} \right) \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(IJ:\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2 + 2t\\
y = 2t\\
z = 1 - t
\end{array} \right.\) 

\(\begin{array}{l}
M \in IJ \Rightarrow M\left( { - 2 + 2t;2t;1 - t} \right)\\
M \in \left( S \right) \Rightarrow {\left( { - 4 + 2t} \right)^2} + {\left( {2t - 4} \right)^2} + {\left( {2 - t} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow 9{\left( {t - 2} \right)^2} = 9\\
 \Leftrightarrow {\left( {t - 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t - 2 = 1\\
t - 2 =  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 3 \Rightarrow M\left( {4;6; - 2} \right)\\
t = 1 \Rightarrow M\left( {0;2;0} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\) 

Do \(MI = 3 \Rightarrow M\left( {0;2;0} \right)\) thỏa mãn \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 0\\
b = 2
\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 2\)