Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn \(\left| z \right| - 2\overline z  =  - 7 + 3i + z\).

* Hướng dẫn giải

Gọi \(z = a + bi\left( {a \in R,b \in R} \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l}
\left| z \right| - 2\overline z  =  - 7 + 3i + z \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  - 2\left( {a - bi} \right) =  - 7 + 3i + a + bi\\
 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  - 2a + 2bi + 7 - 3i - a - bi = 0\\
 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  - 3a + 7 + \left( {b - 3} \right)i = 0\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - 3a + 7 = 0\\
b - 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 3\\
\sqrt {{a^2} + 9}  - 3a + 7 = 0\left( 1 \right)
\end{array} \right.
\end{array}\) 

Giải (1) ta có:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {{a^2} - 9}  - 3a + 7 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 9}  = 3a - 7 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a - 7 \ge 0\\
{a^2} + 9 = 9{a^2} - 42a + 49
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ge \frac{7}{3}\\
8{a^2} - 42a + 40 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ge \frac{7}{3}\\
\left[ \begin{array}{l}
a = 4\\
a = \frac{5}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 4(tm)
\end{array} \right.
\end{array}\) 

Do đó \(a = 4,b = 3 \Rightarrow z = 4 + 3i\) 

Khi đó \(w = 1 - z + {z^2} = 1 - \left( {4 + 3i} \right) + {\left( {4 + 3i} \right)^2} = 1 - 4 - 3i + 16 + 24i - 9 = 4 - 21i\) 

Vậy \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 21} \right)}^2}}  = \sqrt {457} \).