Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu (S) có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + y - 2az + 10a = 0\).

* Hướng dẫn giải

Mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0\) có:

+) Tâm \(I\left( {2; - 1;a} \right)\) 

+) Bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {a^2} - 10a}  = \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \) với điều kiện \({a^2} - 10a + 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a > 5 + 2\sqrt 5 \\
a < 5 - 2\sqrt 5 
\end{array} \right.\) 

Đường tròn lớn của hình cầu có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \) nên chu vi \(C = 2\pi \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \) 

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}
C = 8\pi  \Leftrightarrow 2\pi \sqrt {{a^2} - 10a + 5}  = 8\pi  \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 10a + 5}  = 4\\
 \Leftrightarrow {a^2} - 10a + 5 = 16 \Leftrightarrow {a^2} - 10a - 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a =  - 1\\
a = 11
\end{array} \right.(tm)
\end{array}\) 

Vậy \(a \in \left\{ { - 1;11} \right\}\)