Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - m + 1} \right)x + 1\) đạt

* Hướng dẫn giải

Đặt \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - m + 1} \right)x + 1\) 

Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1;f''\left( x \right) = 2x - 2m\) 

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f'\left( 1 \right) = 0\\
f''\left( 1 \right) < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{1^2} - 2m.1 + {m^2} - m + 1 = 0\\
2.1 - 2m < 0
\end{array} \right.\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 3m + 2 = 0\\
2 - 2m < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = 2
\end{array} \right.\\
m > 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\)