Cho một miếng tôn hình tròn tâm O, bán kính R.

* Hướng dẫn giải

Diện tích hình tròn \(S = \pi {R^2}\) 

Gọi bán kính đường tròn đáy hình nón là \(r\left( {0 < r < R} \right)\) ta có

\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} \) 

Xét hàm \(f\left( r \right) = {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} \) có

\(f'\left( r \right) = 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}}  + {r^2}.\frac{{ - r}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = \frac{{2r\left( {{R^2} - {r^2}} \right) - {r^3}}}{{\left( {{R^2} - {r^2}} \right)\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = \frac{{r\left( {2{R^2} - 3{r^2}} \right)}}{{\left( {{R^2} - {r^2}} \right)\sqrt {{R^2} - {r^2}} }}\) 

\(f'\left( r \right) = 0 \Leftrightarrow r = \frac{{R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\,\left( {do\,0 < r < R} \right)\):

Bảng biến thiên:

Do đó thể tích V đạt GTLN tại \(r = \frac{{R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\). Khi đó \(S' = {S_{xq}} = \pi rl = \pi .\frac{{R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}.R = \frac{{\pi {R^2}\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\) 

Vậy \(\frac{{S'}}{S} = \frac{{\pi {R^2}\sqrt 2 }}{3}:\pi {R^2} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)