Tính  tổng  các  giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 50;50} \right]\) sao cho bất phương trình \(m{x^4}

* Hướng dẫn giải

Ta có \(m{x^4} - 4x + m \ge 0 \Leftrightarrow m\left( {{x^4} + 1} \right) \ge 4x \Leftrightarrow m \ge \frac{{4x}}{{{x^4} + 1}} = f\left( x \right)\,\left( {Do\,{x^4} + 1 > 0\,\forall x} \right)\) với \(\forall x \in R\) 

\( \Rightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_R f\left( x \right)\) 

Xét hàm \(f\left( x \right) = \frac{{4x}}{{{x^4} + 1}}\) trên R

Ta có \(f'\left( x \right) = 4\frac{{{x^4} + 1 - x.4{x^3}}}{{{{\left( {{x^4} + 1} \right)}^2}}} = 4.\frac{{ - 3{x^4} + 1}}{{{{\left( {{x^4} + 1} \right)}^2}}} = 4.\frac{{\left( {1 - \sqrt 3 {x^2}} \right)\left( {1 + \sqrt 3 {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^4} + 1} \right)}^2}}}\) 

Từ đó \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{{\sqrt[4]{3}}}\\
x =  - \frac{1}{{\sqrt[4]{3}}}
\end{array} \right.\) 

Ta có BBT:

Từ BBT suy ra \(m \ge \frac{3}{{\sqrt[4]{3}}} \approx 2,27\) mà m nguyên và \(m \in \left[ { - 50;50} \right] \Rightarrow m \in \left\{ {3;4;...;50} \right\}\) 

Tổng \(S = 3 + 4 + ... + 50 = \frac{{\left( {3 + 50} \right).48}}{2} = 1272\)