Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log ^2}\left| {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right| - m\log {\cos

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z\) 

Ta có: \({\log ^2}\left| {\cos x} \right| - m\log {\cos ^2}x - {m^2} + 4 = 0\) 

\( \Leftrightarrow {\log ^2}\left| {\cos x} \right| - 2m\log \left| {\cos x} \right| - {m^2} + 4 = 0\)

Đặt \(t = \log \left| {\cos x} \right|\). Do \(0 < \left| {\cos x} \right| \le 1\) nên \(\log \left| {\cos x} \right| \le 0\) hay \(t \in \left( { - \infty ;0} \right]\) 

Phương trình trở thành \({t^2} - 2mt - {m^2} + 4 = 0\left( * \right)\) có \(\Delta ' = {m^2} + {m^2} - 4 = 2{m^2} - 4\) 

Phương trình đã cho vô nghiệm nếu và chỉ nếu phương trình (*) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm (không nhất thiết phân biệt) \(t_1, t_2\) thỏa mãn \(0 < {t_1} \le {t_2}\) 

TH1: (*) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' = 2{m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow  - \sqrt 2  < m < \sqrt 2 \) 

TH2: (*) có hai nghiệm thỏa mãn \(0 < {t_1} \le {t_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' \ge 0\\
{t_1} + {t_2} > 0\\
{t_1}{t_2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{m^2} - 4 \ge 0\\
2m > 0\\
 - {m^2} + 4 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m \ge \sqrt 2 \\
m \le  - \sqrt 2 
\end{array} \right.\\
m > 0\\
 - 2 < m < 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \sqrt 2  < m < 2\) 

Kết hợp hai trường hợp ta được \(m \in \left( { - \sqrt 2 ;2} \right)\)