Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;0;2} \right),B\left( {3;1; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\l

* Hướng dẫn giải

Gọi I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA}  - 2\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA}  = 2\overrightarrow {IB} \) 

Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {1 - x; - y;2 - z} \right);\overrightarrow {IB}  = \left( {3 - x;1 - y; - 1 - z} \right)\) 

Khi đó \(3\overrightarrow {IA}  = 2\overrightarrow {IB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 - 3x = 6 - 2x\\
 - 3y = 2 - 2y\\
6 - 3z =  - 2 - 2z
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 3\\
y =  - 2\\
z = 8
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 3; - 2;8} \right)\) 

Ta có:

\(3\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB}  = 3\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right) = \overrightarrow {MI}  + \left( {3\overrightarrow {IA}  - 2\overrightarrow {IB} } \right) = \overrightarrow {MI} \) (vì \(3\overrightarrow {IA}  - 2\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \))

Khi đó \(\left| {3\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI\) nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)

Phương trình đường thẳng d qua I(- 3;- 2;8) và vuông góc với (P) là \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 3 + t\\
y =  - 2 + t\\
z = 8 + t
\end{array} \right.\) 

Suy ra \(M = d \cap \left( P \right)\) nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 3 + t\\
y =  - 2 + t\\
z = 8 + t\\
x + y + z - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 3 + t\\
y =  - 2 + t\\
z = 8 + t\\
 - 3 + t - 2 + t + 8 + t = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t =  - \frac{2}{3}\\
x =  - \frac{{11}}{3}\\
y =  - \frac{8}{3}\\
z = \frac{{22}}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{{11}}{3}; - \frac{8}{3};\frac{{22}}{3}} \right)\) 

Từ đó \(a =  - \frac{{11}}{3};b =  - \frac{8}{3};c = \frac{{22}}{3} \Rightarrow S = 9a + 3b + 6c =  - 33 - 8 + 44 = 3\)