Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \({\left( {f\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f'\left( x \right) = 15{x^4} + 12x,\forall x \in R\) và \(f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\left( {f\left( x \right).f'\left( x \right)} \right)' = f'\left( x \right).f'\left( x \right) + f\left( x \right).\left( {f'\left( x \right)} \right)' = {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right)\) 

Nên \({\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right) = 15{x^4} + 12x \Leftrightarrow \left( {f\left( x \right).f'\left( x \right)} \right)' = 15{x^4} + 12x\) 

Lấy nguyên hàm hai vế ta có:

\(\int {\left( {f\left( x \right).f'\left( x \right)} \right)'dx}  = \int {\left( {15{x^4} + 12x} \right)dx}  \Leftrightarrow f'\left( x \right).f\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + C\) 

Thay x = 0 vào ta được \(f'\left( 0 \right).f\left( 0 \right) = C \Leftrightarrow C = 1 \Rightarrow f\left( x \right).f'\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + 1\) 

Lấy nguyên hàm hai vế ta được \(\int {f\left( x \right).f'\left( x \right)dx}  = \int {\left( {3{x^5} + 6{x^2} + 1} \right)dx} \)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \int {f\left( x \right)d\left( {f\left( x \right)} \right)}  = \frac{{{x^6}}}{2} + 2{x^3} + x + {C_1} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}}}{2} = \frac{{{x^6}}}{2} + 2{x^3} + x + {C_1}\\
 \Leftrightarrow {\left( {f\left( x \right)} \right)^2} = {x^6} + 4{x^3} + 2x + 2{C_1}
\end{array}\) 

Lại có \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 2{C_1} = 1 \Rightarrow {\left( {f\left( x \right)} \right)^2} = {x^6} + 4{x^3} + 2x + 1\) 

Suy ra \({\left( {f\left( 1 \right)} \right)^2} = 8\)