Cho \(x,y > 0\) và thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - xy + 3 = 0\\2x + 3y - 14 \le 0\end{array} \right.\).

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - xy + 3 = 0\left( 1 \right)\\
2x + 3y - 14 \le 0\left( 2 \right)
\end{array} \right.\) 

Do \(x, y>0\) nên \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow y = \frac{{{x^2} + 3}}{x}\) thay vào (2) ta được:

\(2x + 3.\frac{{{x^2} + 3}}{x} - 14 \le 0 \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} + 3{x^2} + 9 - 14x}}{x} \le 0 \Leftrightarrow 5{x^2} - 14x + 9 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le \frac{9}{5}\) 

Thay \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{x}\) vào P ta được:

\(P = 3{x^2}y - x{y^2} - 2{x^3} + 2x = 3{x^2}.\frac{{{x^2} + 3}}{x} - x.{\left( {\frac{{{x^2} + 3}}{x}} \right)^2} - 2{x^3} + 2x\) 

\(\begin{array}{l}
 = 3x\left( {{x^2} + 3} \right) - \frac{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}{x} - 2{x^3} + 2x\\
 = \frac{{3{x^2}\left( {{x^2} + 3} \right) - \left( {{x^4} + 6{x^2} + 9} \right) - 2{x^4} + 2{x^2}}}{x} = \frac{{5{x^2} - 9}}{x} = 5x - \frac{9}{x}
\end{array}\) 

\(P' = 5 + \frac{9}{{{x^2}}} > 0\) với mọi x nên hàm số \(P=P(x)\) đồng biến trên \(\left[ {1;\frac{9}{5}} \right]\) 

Vậy \({P_{\max }} = P\left( {\frac{9}{5}} \right) = 4,{P_{\min }} = P\left( 1 \right) =  - 4\) 

Tổng \({P_{\max }} + {P_{\min }} = 4 + \left( { - 4} \right) = 0\).